已知函数f(x)＝13x3−32ax2−(a−3)x+b
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解题思路：（1）利用导数的几何意义：导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率，再与y=5x+l比较列出关于a，b的方程组，解之即得实数a，b的值．
（2）先求出g（x）的导数，令导函数为0求出根，判断根左右两边的导函数符号，判断出函数的单调性，求出函数的最值．
（1）f（x）=x2-3ax-a+3，
函数f（x）在点P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，
f′(0)＝−a+3＝5
f(0)＝b＝1则∴a=-2，b=1，（4分）
（2）g(x)＝
f′(x)
x−
x2−3ax−a+3
xg′(x)＝
(2x−3a)x−(x2−3ax−a+3)
x2＝
x2−(3−a)
x2（6分）
因为在[1，2]上求y=g（x）的最大值，故只讨论x＞O时，g（x）的单调性．
∵a＜3∴3-a＞O，令g’（x）=0
•
⇒x＝
3−a
∵当0＜x＜
3−a时，g'（x）＜O，g（x）单调递减；
当x≥
．3−a
时，g'（x）＞0．g（x）单调递增．lO分
∴当x=1或x=2时．g（x）取得最大值g（1）或g（2）
其中g（1）=4-4a，g(2)＝
7−7a
2，由g（1）＞g（2）得4−4a＞
7−7a
2⇒a＜1
故当a＜1时，g（x）max=g（1）=4-4a；
当1≤a＜3时，g(x)max＝g(2)＝
7−7a
2（14分）
点评：
本题考点： 导数的几何意义；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数的几何意义：导数在切点处的导数值是曲线的切线的斜率、函数的单调性与导函数符号的关系、利用导数求函数的最值、分类讨论的数学思想方法．
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