解题思路：（Ⅰ）由b=1，故f（x）=（x+a）2-7lnx+1，得
f′(x)＝2x+2a−
7
x]．从而
a≥
7
2x
−x
在x＞1时恒成立．由当x＞1时，
y＝
7
2x
−x
是减函数，从而当x＞1时，[7/2x
−x＜
5
2]，进而求出a的范围；
（II）由
b＝
4
7
a
2
，故f（x）=（x+a）2-4a2lnx+1，x∈（0，+∞），求出
f′(x)＝
2
x
2
+2ax−4
a
2
x
＝
2(x−a)(x+2a)
x
，
当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）当a＞0时，f（x）的减区间为（0，a）增区间为（a，+∞）当a＜0时，f（x）的减区间为（0，-2a）增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，当
a＝
5
2
时，
f(x)＝(x+
5
2
)
2
−7lnx+1
在（1，+∞）是增函数．
x＞1时，f（x）＞f（1），从而x2+5x-6＞7lnx，得到
n+1
n
＞1
，通过整理变形不等式得证．
解（Ⅰ）∵b=1，故f（x）=（x+a）2-7lnx+1，
∴f′(x)＝2x+2a−
7
x．
∵当x＞1时，f（x）是增函数，
∴f′(x)＝2x+2a−
7
x≥0在x＞1时恒成立．
即a≥
7
2x−x在x＞1时恒成立．
∵当x＞1时，y＝
7
2x−x是减函数，
∴当x＞1时，[7/2x−x＜
5
2]，
∴a≥[5/2]．
（II）∵b＝
4
7a2，故f（x）=（x+a）2-4a2lnx+1，x∈（0，+∞），
∴f′(x)＝
2x2+2ax−4a2
x＝
2(x−a)(x+2a)
x，
∴当a=0时，f（x）的增区间为（0，+∞）
当a＞0时，∴f'（x）＞0⇒x＞a或x＜-2a，
∴f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）
当a＜0时，∴f'（x）＞0⇒x＞-2a或x＜a，
∴f（x）的减区间为（0，-2a），增区间为（-2a，+∞）；
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知，
当a＝
5
2时，
f(x)＝(x+
5
2)2−7lnx+1在（1，+∞）是增函数．
∴当x＞1时，f（x）＞f（1），
即(x+
5
2)2−7lnx+1＞
53
4，
∴x2+5x-6＞7lnx
∵n∈N*，∴[n+1/n＞1，
∴(1+
1
n)2+5(1+
1
n)−6＞7ln
n+1
n]，
即[1
n2+7
1/n＞7[ln(n+1)−lnn]，
∴(
1
12+
7
1)+(
1
22+
7
2)…(
1
n2+
7
n)＞
7[ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln（n+1）-lnn]
=7ln（n+1），
∴ln(n+1)7＜(1+
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考察了利用导数求函数的单调性，求参数的取值范围，不等式的证明，是一道综合题．
1年前
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