已知实数a,b,c满足a＞b＞c,且有a+b+c=1,a2+b2+c2=1.求证：1＜a+b＜4/3
1个回答

已知实数a、b、c满足a＞b＞c,且有a+b+c=1,a²+b²+c²=1.求证：1＜a+b＜4/3.

证明：由a+b+c=1得：a+b=1-c,两边同时平方,得：

a²+b²+2ab=1-2c+c²

1-c²+2ab=1-2c+c²

2ab=2c²-2c

因a＞b,故(a-b)²＞0,展开得：2ab＜a²+b²=1-c²,则有：

2c²-2c＜1-c²

3c²-2c-1＜0

(3c+1)(c-1)＜0

解得：-1/3＜c＜1,

另外,由(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca可得：

1=1+2ab+2bc+2ca

即：ab+bc+ca=0,

可以看出,若a、b、c全为正或者全为负,那么上式都将大于0,所以a、b、c中有负数,因c最小,所以c必定是负数,即c

相关问题