已知[1/a]，[1/b]，[1/c]成等差数列， - 已解决

已知[1/a]，[1/b]，[1/c]成等差数列，求证[b+c/a]，[c+a/b]，[a+b/c]也成等差数列．

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解题思路：根据题意得[2/b＝

c]，化简整理得2ac=b（a+c）．再将[b+c/a]+[a+b/c]通分，将分子中的b（a+c）换成ac，分母中的ac换成[1/2

b(a+c)，结合完全平方公式约分化简得

b+c

a]+[a+b/c]=2•[c+a/b]，结合等差中项的定义即可得到[b+c/a]，[c+a/b]，[a+b/c]也成等差数列．

∵[1/a]，[1/b]，[1/c]成等差数列，

∴[2/b＝

c]，去分母化简整理得2ac=b（a+c）

∵[b+c/a]+[a+b/c]=

bc+c2+a2+ab

ac=

b(a+c)+a2+c2

2ac+a2+c2

ac=

(a +c)2

ac=

(a +c)2

2b(a+c)=2•[c+a/b]

∴[c+a/b]-[b+c/a]=[a+b/c]-[c+a/b]，可得[b+c/a]，[c+a/b]，[a+b/c]也成等差数列．

点评：

本题考点：等差关系的确定．

考点点评：本题给出[1/a]、[1/b]、[1/c]成等差数列，求证[b+c/a]、[c+a/b]、[a+b/c]也成等差数列．着重考查了运用完全平方公式和约分的方法将分式化简、等差数列的定义和等差关系的确定方法等知识，属于中档题．

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