如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H⊥平面AA1B1B,且 C1H=
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方法一：如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点．
依题意得 A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,-2,5)A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5)
易得 AC→=(-2,-2,5),A1B1→=(-22,0,0),
于是 cos〈AC→,A&1B1→＞=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43×22=23,
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23．
（II）易知 AA1→=(0,22,0),A1C1→=(-2,-2,5)．
设平面AA1C1的法向量 m→=（x,y,z）,
则 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5,可得 m→=(5,0,2),
同样地,设平面A1B1C1的法向量 n→=（x,y,z）,
则 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5,
可得 n=(0,5,2)．
于是 cos＜m→,n→＞=m→•n→|m→||n→|=27•7=27,
从而 sin＜m→,n→＞=357．
所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357．
（III）由N为棱B1C1的中点,
得 N(22,322,52)．设M（a,b,0）,
则 MN→=(22-a,322-b,52)
由MN⊥平面A1B1C1,得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0
即 {(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 M(22,24,0)．
因此 BM→=(22,24,0),所以线段BM的长为 |BM→|=104．
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