解题思路：（1）求导数，确定函数f（x）在[1，4]上的单调性，即可求函数f（x）在[1，4]上的最值；
（2）函数f（x）既有极大值，又有极小值，f′（x）=
2
x
2
−x+a
x
=0在（0，+∞）内有两个不等实根，可得2x2-x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，即可求实数a的取值范围；
（3）求出f（x）min=f（1）=0，可得k2-k≥lnk，即（12+22+…+n2）-（1+2+…+n）≥lnn!，即可证明结论．
（1）a=-6，f（x）=x2-x+alnx，
∴f′（x）=
(2x+3)(x−2)
x，x＞0
∴x∈[1，2]，f′（x）≤0，x∈[2，4]，f′（x）≥0，
∴f（x）min=f（2）=2-6ln2，f（x）max=max{f（1），f（4）}，
∵f（1）=0，f（4）=12-12ln2＞0，
∴f（x）max=12-12ln2；
（2）∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，
∴f′（x）=
2x2−x+a
x=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
∴2x2-x+a=0在（0，+∞）内有两个不等实根，
令g（x）=2x2-x+a，则
△＝1−8a＞0
g(0)＝a＞0，解得0＜a＜[1/8]，
（3）证明：a=-1时，f（x）=x2-x-lnx，
∴f′（x）=
(2x+1)(x−1)
x≥0恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f（x）min=f（1）=0，
∴x2-x≥lnx（x=1时取等号），
则k2-k≥lnk，
∴（12+22+…+n2）-（1+2+…+n）≥lnn!，
∴
n(n+1)(2n+1)
6-
n(n+1)
2≥lnn!，
∴
n(n2−1)
3）≥lnn!，
∴e n(n2−1)≥（n!）3．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，考查不等式的证明，难度中等．
