（2014•安徽一模）设函数f（x）=（ax2-2x）•ex，其中a≥0．
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解题思路：（Ⅰ）求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系，即可求f（x）的极值点；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系，解不等式即可得到结论．
对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a-1）x-2]•ex①
（I）若a=[4/3]时，由f′(x)＝0，得2x2+x−3＝0，解得x1＝−
3
2，x2＝1，
综合①，可知
x(−∞，−
3
2)−
3
2(−
3
2，1)1（1，+∞）
f'（x）+0-0+
f（x）↗极大值↘极小值↗所以，x1＝−
3
2是极大值点，x2=1是极小值点．（注：未注明极大、极小值扣1分）
（II）若f（x）为[-1，1]上的单调函数，又f'（0）=-2＜0，
所以当x∈[-1，1]时f'（x）≤0，
即g（x）=ax2+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．
（1）当a=0时，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；
（2）当a＞0时，抛物线g（x）=ax2+2（a-1）x-2开口向上，
则f（x）在[-1，1]上为单调函数的充要条件是
g(−1)≤0
g(1)≤0，
即
−a≤0
3a−4≤0，所以0＜a≤
4
3．
综合（1）（2）知a的取值范围是0≤a≤
4
3．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查函数的极值的求解，以及函数单调性和导数的关系，考查导数的基本运算，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
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