已知f（x）=x3+ax2+bx+c有极大值f（α）和极小值f（β）．
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解题思路：（1）求出f（x）的导函数令其=0则α、β为3x2+2ax+b=0的两根，利用根与系数的关系化简f（α）+f（β）得到即可；
（2）设出A与B两点坐标，求出中点坐标线段判断AB的中点是否在y=f（x）上即可．
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，由于f（x）有极大值和极小值，
∴α、β为3x2+2ax+b=0的两根，则α+β＝−
2a
3，αβ＝
b
3，∴f(α)+f(β)＝(α3+aα2+bα+c)+(β3+aβ2+bβ+c)
=（α3+β3）+a（α2+β2）+b（α+β）+2c
=[（α+β）3-3αβ（α+β）]+a[（α+β）2-2αβ]+b（α+β）+2c
=[(−
2a
3)3−3•
b
3•(−
2a
3)]+a[(−
2a
3)2−2•(
b
3)]+b(
−2a
3)+2c
=
4
27a3−
2ab
3+2c
（2）设A（α，f（α）），B（β，f（β），
由f(
α+β
2)＝(
α+β
2)3+a•(
α+β
2)3+b•
α+β
2+c＝(−
a
3)3+a•(−
a
3)2+b•(−
a
3)+c
=
2
27a3−
1
3ab+c＝
1
2[f(α)+f(β)]
知AB的中点在y=f（x）上．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．
考点点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力．
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