已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=-1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值．
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解题思路：（1）先求导函数，根据当x=-1时，f（x）有极大值，当x=3时，f（x）有极小值，可知-1，3是方程f'（x）=0的根，从而可得到关于a，b的两个等式，再根据极大值等于7，又得到一个关于a，b，c的等式，即可求出c的值．
（2）利用导数的几何意义，能求出函数f（x）在P（1，f（1））处的切线方程．
（1）∵f（x）=x3+ax2+bx+c，
∴f'（x）=3x2+2ax+b．
∵当x=-1时，函数取得极大值，x=3时，函数取得极小值．
∴-1，3是方程f'（x）=0的根，即-1，3为方程3x2+2ax+b=0的两根．
∴
−1+3＝−
2a
3
−1×3＝
b
3，
∴
a＝−3
b＝−9，
∴f（x）=x3-3x2-9x+c．
∵当x=-1时取得极大值7，
∴（-1）3-3（-1）2-9（-1）+c=7，
∴c=2．
（2）由（1）知f（x）=x3-3x2-9x+2．
∴f（1）=1-3-9+2=-9．
f′（x）=3x2-6x-9，
∴f′（1）=3-6-9=-12，
∴函数f（x）在P（1，f（1））处的切线方程为：
y+9=-12（x-1），即12x+y-3=0．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查利用导数求函数的最大值和最小值的应用，求函数在某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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