已知数列{a n }，{b n }与函数f（x）， - 已解决

已知数列{a n }，{b n }与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a n =b n ，f（b n ）=g（b

已知数列{a_n}，{b_n}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：a_n=b_n，f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N*）．

（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），

lim

n→∞

存在，求x的取值范围；

（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f^-1（x），b=1，f（1）＜1，证明对任意n∈N*，a_n+1＜a_n（用t表示）．

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1个回答

（I）由题设知

a n+1 =t b n+1 +1

a n =2 b n+1 ，得 a n+1 =

2 a n +1 ．

又已知t≠2，可得 a n+1 +

t-2 =

2 ( a n +

t-2 ) ．

由t≠0，t≠2，f（b）≠g（b），可知 a 1 +

t-2 =tb+

t-2 ≠0，

2 ≠0 ，

所以 { a n +

t-2 } 是等比数列，其首项为 tb+

t-2 ，公比为

2 ．

于是 a n +

t-2 =(tb+

t-2 )(

2 ) n-1 ，即 a n =(tb+

t-2 )(

2 ) n-1 -

t-2 ．

又

lim

n→∞ a n 存在，可得 0＜|

2 |＜1 ，所以-2＜t＜2且t≠0.

lim

n→∞ a n =

2-t ．

（II）证明：因为g（x）=f^-1（x），

所以a_n=g（b_n+1）=f^-1（b_n+1），即b_n+1=f（a_n）．

下面用数学归纳法证明a_n+1＜a_n（n∈N^*）．

（1）当n=1（2）时，由f（x）（3）为增函数，且f（1）＜1（4），

得a₁=f（b₁）=f（1）＜1（5），b₂=f（a₁）＜f（1）＜1（6），a₂=f（b₂）＜f（1）=a₁（7），

即a₂＜a₁，结论成立．

（8）假设n=k（9）时结论成立，即a_k+1＜a_k（10）．由f（x）（11）为增函数，得f（a_k+1）＜f（a_k）（12），即b_k+2＜b_k+1（13），进而得f（b_k+2）＜f（b_k+1）（14），即a_k+2＜a_k+1（15），这就是说当n=k+1（16）时，结论也成立．根据（1）和（2）可知，对任意的n∈N^*（17），a_n+1＜a_n（18）．

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