设f（x）=x 2 ，g（x）=8x，数列{a n }（n∈N*）满足a 1 =2，（a n+1 -a n ）•g（a
1个回答
（Ⅰ）由已知，得（a n+1-a n）•8（a n-1）+（a n-1） 2=0．
即（a n-1）（8a n+1-7a n-1）=0．
∵a 1=2≠1，∴a 2≠1，同理a 3≠1，…，a n≠1．
∴8a n+1=7a n+1．
即8（a n+1-1）=7（a n-1），
∴数列{a n-1}是以a 1-1=1为首项，
7
8 为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（1），得 a n -1=(
7
8 ) n-1 ．
∴ b n =(n+1)•(
7
8 ) n ．
则 b n+1 =(n+2)•(
7
8 ) n+1 ．
∵
b n+1
b n =
n+2
n+1 •
7
8 ，设
b n+1
b n ≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，b n＜b n+1；当n=6时，b 6=b 7，当n＞6时，b n＞b n+1．
∴当n=6或7时，b n取得最大值．
（Ⅲ） S n =2•
7
8 +3•(
7
8 ) 2 +4•(
7
8 ) 3 +…+n•(
7
8 ) n-1 +(n+1)•(
7
8 ) n
7
8 • S n =2•(
7
8 ) 2 +3•(
7
8 ) 3 +4•(
7
8 ) 4 +…+n•(
7
8 ) n +(n+1)•(
7
8 ) n+1
相减得：
1
8 • S n =2•
7
8 +(
7
8 ) 2 +(
7
8 ) 3 +…+(
7
8 ) n -(n+1)•(
7
8 ) n+1 =
7
8 +
7
8 ×8×[1-(
7
8 ) n ]-(n+1)•(
7
8 ) n+1
=
63
8 -(n+9)•(
7
8 ) n+1
∴ S n =63-8(n+9)•(
7
8 ) n+1 ．
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