设函数f(x)满足2f(x)-f( )=4x- +1,数列{a n }和{b n }满足下列条件:a 1 =1,a n+
1个回答
(1) f(x)=2x+1 (2) b n=3·2 n-2 (3)见解析
(1)∵2f(x)-f(
)=4x-
+1,
∴2f(
)-f(x)=
-2x+1.
联立方程组
①×2+②,得3f(x)=6x+3
∴f(x)=2x+1.
(2)由题设a n+1=2a n+2n+1 ③,
a n+2=2a n+1+2n+3 ④,
④-③得a n+2-a n+1=2(a n+1-a n)+2,
即b n+1=2b n+2,∴b n+1+2=2(b n+2),
∴{b n+2}为等比数列.
q=2,b 1=a 2-a 1=4,b n+2=6·2 n-1,
∴b n=3·2 n-2.
(3)由(2),知a n+1-a n=3×2 n-2,而已知a n+1-2a n=2n+1,联立解得a n=3×2 n-2n-3,
∴2a n=6×2 n-4n-6,
∴2a n-b n=3×2 n-4(n+1).
当n=1时,2a 1-b 1=-2<0,∴2a 1
1 ;
当n=2时,2a 2-b 2=0,∴2a 2=b 2;
当n=3时,2a 3-b 3=8>0,∴2a 3>b 3;
当n=4时,2a 4-b 4=28>0,∴2a 4>b 4.
猜想当n≥3时,2a n>b n即3×2 n>4(n+1).
当n=3时,显然成立,
假设当n=k(k≥3)时,命题正确,
即3×2 k>4(k+1).
当n=k+1时,
即3×2 k+1=2×(3×2 k)>8(k+1)=8k+8
=4k+8+4k>4k+8=4(k+2).
不等式也成立,故对一切n≥3且n∈N *,
2a n>b n.
综上所述,当n=1时,2a n
n ;
当n=2时,2a n=b n;
当n≥3时,2a n>b n.
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