设0＜a＜1，x＞0，f(logax)＝a(x2−1)x(a2−1)，
1个回答
解题思路：（1）令t=logax，则x=at，利用对数的运算性质，结合已知中
0＜a＜1，x＞0，f(lo
g
a
x)＝
a(
x
2
−1)
x(
a
2
−1)
，可得结论
f(t)＝
a
a
2
−1
•
a
2t
−1
a
t
；
（2）由（1）中
f(t)＝
a
a
2
−1
•
a
2t
−1
a
t
，将t=1入，可得f（1）=1，分析f（t）的单调性，进而可得答案．
证明：（1）设t=logax，则x=at，
由0＜a＜1，x＞0，f(logax)＝
a(x2−1)
x(a2−1)可得：
f(logax)＝f(t)＝
a
a2−1•
a2t−1
at，…（4分）
（2）f(t)＝
a
a2−1•
a2t−1
at，可知f(1)＝
a
a2−1•
a2−1
a＝1．
再研究f（t）的单调性．
设t1＜t2，
则f(t1)−f(t2)＝
a
a2−1•
(at1−at2)(1+at1at2)
at1at2．
因为0＜a＜1，且t1＜t2，
所以a2-1＜0，at1−at2＞0，又at1at2＞0，及1+at1at2＞0，
则f（t1）-f（t2）＜0，
即f（t1）＜f（t2）．…（8分）
因此函数f（t）在R上单调递增．…（10分）
而a＜1，故f（a）＜f（1）=1．…（12分）
点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．
考点点评： 本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，函数单调性的性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
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