已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数
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解题思路：（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；
（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．
解（1）∵函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数
∴f（-x）=log4（4-x+1）-kx）=log4（
1+4x
4x）-kx=log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立
∴-（k+1）=k，则k=−
1
2．
（2）g（x）=log4（a•2x-[4/3]a），
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即
方程f（x）=g（x）只有一个解
由已知得log4（4x+1）−
1
2x=log4（a•2x-[4/3]a），
∴log4（
4x+1
2x）=log4（a•2x-[4/3]a），
方程等价于
a•2x−
4
3a＞0
4x+1
2x＝a•2x−
4a
3，
设2x=t，t＞0，则（a-1）t2-[4/3at-1=0有一解
若a-1＞0，设h（t）=（a-1）t2-
4
3at-1，
∵h（0）=-1＜0，∴恰好有一正解
∴a＞1满足题意
若a-1=0，即a=1时，不满足题意
若a-1＜0，即a＜1时，由△＝(−
4
3a)2+4(a−1)＝0，得a=-3或a=
3
4]，
当a=-3时，t=[1/2]满足题意
当a=[3/4]时，t=-2（舍去）
综上所述实数a的取值范围是{a|a＞1或a=-3}．
点评：
本题考点： 函数的图象．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．
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