解题思路：（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）-x=
lo
g
2
(a•
2
x
−
4
3
a)
在（
log
2
4
3]，+∞）有且只有一解，即方程
4
x
+1
2
x
＝a•
2
x
−
4
3
a
在
(lo
g
2
4
3
，+∞)
上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．
（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数
∴f（-x）=log2（4-x+1）-kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立
即log2（4x+1）-2x-kx=log2（4x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a>0
∴函数g(x)=log2(a•2x-
4
3a)的定义域为（log2
4
3，+∞）
即满足2x>
4
3
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，
∴方程log2（4x+1）-x=log2(a•2x-
4
3a)在（log2
4
3，+∞）有且只有一解
即：方程
4x+1
2x=a•2x-
4
3a在(log2
4
3，+∞)上只有一解
令2x=t，则t>
4
3，因而等价于关于t的方程(a-1)t2-
4
3at-1=0（*）在(
4
3，+∞)上只有一解
当a=1时，解得t=-
3
4∉(
4
3，+∞)，不合题意；
当0
4
3at-1，其图象的对称轴t=
2a
3(a-1)<0
∴函数h(t)=(a-1)t2-
4
3at-1在（0，+∞）上递减，而h（0）=-1
∴方程（*）在(
4
3，+∞)无解
当a>1时，记h(t)=(a-1)t2-
4
3at-1，其图象的对称轴t=
2a
3(a-1)>0
所以，只需h(
4
3)<0，即[16/9(a-1)-
16
9a-1<0，此恒成立
∴此时a的范围为a>1
综上所述，所求a的取值范围为a>1．
点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用；偶函数．
考点点评： 本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．
1年前
10
大虫说事
幼苗
共回答了1个问题
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k=-1;对不起啊，我有好几个月没有做数学了，公式方法都忘了，原本打算帮你做完这道题的，可是我还要写论文，I'm so sorry
1年前
2
zyqx
幼苗
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如果知道一个函数已经是偶函数了
求参数，最快方法就是代特殊值法
令f(1)=f(-1)就可以了
k = -1.
1年前
2
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