已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
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解题思路：（1）由f（x）=f（-x），化简可得x=-2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程
2
x
+
1
2
x
＝a•
2
x
+a
有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．令t=2x＞0，则（a-1）t2+at-1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．
（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（-x），
∴log4(4x+1)+kx＝log4(4−x+1)−kx，化简得log4
4x+1
4−x+1＝−2kx，
即x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k＝−
1
2．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x+1)−
1
2x＝log4(a•2x+a)有且只有一个实根，
化简得：方程2x+
1
2x＝a•2x+a有且只有一个实根，且a•2x+a＞0成立，则a＞0．
令t=2x＞0，则（a-1）t2+at-1=0有且只有一个正根，
设g（t）=（a-1）t2+at-1，注意到g（0）=-1＜0，
所以①当a=1时，有t=1，合题意；
②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=-1＜0，则需满足
−
a
2(a−1)＞0
△＝0，
此时有a＝−2+2
2；a＝−2−2
2（舍去）．
③当a＞1时，又g（0）=-1，方程恒有一个正根与一个负根．
综上可知，a的取值范围是{−2+2
2}∪[1，+∞）．
点评：
本题考点： 根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．
考点点评： 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于基础．
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