如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，P是AD边上动点（不与A，D重合），⊙B是以B为圆心，BP为半径的一个圆．
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解题思路：（1）若CP与⊙B相切，则BP⊥PC，设AP=x，可分别在直角三角形ABP和PDC中表示出BP和CP的平方，然后在直角三角形BCP中，用勾股定理即可求出AP的长．（也可通过相似三角形ABP和DPC来求出AP的长）．
（2）本题可仿照（1）题的第二种思路进行求解．由于∠BPE=90°，易得出△ABP∽△DEP，那么可根据相似三角形得出的关于AB、AP、PD、DE的比例关系式求出y，x的函数关系式．（求x的取值范围时，要先求出E、C重合时，x的值，求出的这两个值之间就是x的取值范围．其实这种情况就是题（1）所求的值．）
（3）本题要分两种情况进行讨论，思路一致．
①当F在BC上时，可在直角三角形CFE中，根据CF的长和相似三角形CEF和DEP求出CE的表达式，然后代入（2）的函数关系式中，即可求出x的值．
②当F在BC延长线上时，解法与①相同．
（1）AP的长抛物线和直线的解析式；
设AP=x，则BP=
9+x2，CP=
9+(10−x)2，9+x2+9+（10-x）2=100，
解得x为1或9，则AP的长为1或9．
（2）如图2，DE=3+y，AP=x，PD=10-x；
由∠BPE=90°，易知：△ABP∽△DPE，则有
[AB/PD＝
AP
ED]，即[3/10−x＝
x
3+y]，
∴y=-[1/3]x2+[10/3]x-3（1＜x＜9）．
（3）情况一：当1＜AP＜9时，AP=4±
7；
情况二：当0＜AP≤1或9≤AP＜10时，AP=6-3
3；
综上所述：AP的长为4±
7或6-3
3．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识点．
根据相似三角形来得出的对应成比例线段来求解是本题的基本思路．
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