如图所示，已知AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q.
1个回答
见解析
证明 法一 连接OP、OQ，如图所示．
∵AP、PQ、BQ为⊙O的切线，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又AP、BQ为⊙O的切线，
AB为直径，∴AB⊥AP，AB⊥BQ.
∴AP∥BQ.
∴∠A＝∠B＝90°，
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°.
∵∠1＋∠5＝90°，∴∠4＝∠5.
∴△AOP∽△BQO.
∴
＝
.
∵AB＝2AO＝2OB，∴AB 2＝4AP·BQ.
法二 连接OC.
同上可证得∠2＋∠3＝90°.
∵PQ切⊙O于C，∴OC⊥PQ.
在Rt△PQO中，由射影定理可得OC 2＝PC·CQ，
利用切线长定理，有PC＝AP，BQ＝QC.
OC 2＝AP·BQ，∵AB＝2OC，∴AB 2＝4AP·BQ.
法三 如图所示，过P作BQ的垂线PD，垂足为D.
∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，
∴∠A＝∠B＝90°，
AP＝PC，CQ＝BQ.
∴四边形ABDP为矩形，
PQ＝AP＋BQ.∵AP＝BD，AB＝PD.
在Rt△PQD中，利用勾股定理得：PQ 2＝PD 2＋QD 2，
∴(AP＋BQ) 2＝AB 2＋(BQ－AP) 2.
∴4AP·BQ＝AB 2.
相关问题
