AB为圆O的直径,C为圆上任意一点,过点C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q,求证：AB^2=4AP x BQ
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证法一： 如图（1）过P作BQ的垂线交BQ于H,则 PH=AB,QH= BQ-AP
由题得：A、B、C均为圆O的切点
∴ PA=PC , QB=QC
∴ PQ=PC+CQ=AP+BQ
在Rt△PHQ中,PQ^2=PH^2+QH^2
∴(AP+BQ)^2=AB^2+(BQ-AP)^2
∴ AB^2=4AP x BQ
证法二：如图（2）连PO、QO
∵PA、PC为圆O的切线
∴ ∠APO=∠CPO=∠APC/2
同理：∠BQO=∠CQO=∠BQC/2
又∵∠A=∠B=90°
∴PA‖QB
∴ ∠APC+∠BQC=180°
∴ ∠CPO+∠CQO=(∠APC+∠BQC)/2=90°
∴∠POQ=90°
∴∠POA+∠QOB=90°
又∵∠POA+∠OPA=90°
∴∠OPA=∠QOB
又∵∠A=∠B=90°
∴Rt△PAO∽Rt△OBQ
∴AO/BQ=AP/BO
∴AO*BO=AP*BQ
∵ AO=BO=AB/2
∴AB/2*AB/2=AP*BQ
∴ AB^2=4AP x BQ
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