凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD.已知OA>OC,OB>OD,试比较BC+AD与AB+CD的大
2个回答
设O到A,B,C,D的距离分别为小写的a,b,c,d.
欲比较BC+AD与AB+CD的大小,只要比较:根号下(b^2+c^2)+根号下(a^2+d^2)与根号下(a^2+b^2)+根号下(c^2+d^2)的大小差异.
用反推法比较:
根号下(b^2+c^2)+根号下(a^2+d^2) 根号下(a^2+b^2)+根号下(c^2+d^2)
号两边同时平方并消掉相同的项再处以2再平方得:
(b^2+c^2)*(a^2+d^2) (a^2+b^2)*(c^2+d^2)
展开后并减掉相同项得:
a^2b^2+c^2d^2 a^2d^2+b^2c^2
两边同时+2abcd配方,再开平方得:
ab+cd ad+bc
左边与右边相减得:
ab+cd-ad-bc=(a-c)(b-d)
因为a>c,b>d所以:
左边减右边的结果为整数,也就是左边的大.
所以最后结果为BC+AD>AB+CD
相关问题
