解题思路：（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）即an=an-1+2n-1再用累加法求解．
（Ⅱ）由（I）求得bn，再观察Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）可用裂项相消法求解．
（Ⅲ）受（II ）的启发，我们可以先a=2研究，由（Ⅱ）知：
T
n
＜
1
6
，即条件①满足；又
0＜m＜
1
6
，
∴
T
n
＞m⇔
1
2
(
1
1+2
−
1
2
n+1
+1
)＞m⇔
2
n+1
＞
3
1−6m
−1⇔n＞lo
g
2
(
3
1−6m
−1)−1＞0
．
因为是恒成立，所以取n0等于不超过
lo
g
2
(
3
1−6m
−1)
的最大整数，则当n≥n0时，Tn＞m（ⅱ）当a＞2时，∵n≥1，
a
n
2
n
＝(
a
2
)
n
≥
a
2
，∴
a
n
≥
a
2
•
2
n
，．（ⅲ）当0＜a＜2时，∵n≥1，
a
n
2
n
＝(
a
2
)
n
≤
a
2
，∴
a
n
≤
a
2
•
2
n
，分别放缩研究．
（Ⅰ）由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1（n≥3）
即an=an-1+2n-1（n≥3）（1分）
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）++（a3-a2）+a2
=2n-1+2n-2++22+5
=2n-1+2n-2++22+2+1+2
=2n+1（n≥3）（3分）
检验知n=1、2时，结论也成立，故an=2n+1．（4分）
（Ⅱ）由于bnf(n)＝
1
(2n+1)(2n+1+1)•2n−1＝
1
2•
(2n+1+1)−(2n+1)
(2n+1)(2n+1+1)＝
1
2(
1
2n+1−
1
2n+1+1)
故Tn＝b1f(1)+b2f(2)++bnf(n)＝
1
2[(
1
1+2−
1
1+22)+(
1
1+22−
1
1+23)++(
1
2n+1−
1
2n+1+1)]
=[1/2(
1
1+2−
1
2n+1+1)＜
1
2•
1
1+2＝
1
6]．（9分）
（Ⅲ）（ⅰ）当a=2时，由（Ⅱ）知：Tn＜
1
6，即条件①满足；又0＜m＜
1
6，
∴Tn＞m⇔
1
2(
1
1+2−
1
2n+1+1)＞m⇔2n+1＞
3
1−6m−1⇔n＞log2(
3
1−6m−1)−1＞0．
取n
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和；不等式．
考点点评： 本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，具体到一般分类讨论等思想方法的运用．
