已知函数f（x）=log3（9x+1）+kx，（k∈R）是偶函数．
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解题思路：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）代入，求得k的值即可；

（2）函数g（x）=f（x）-log3m存在零点，可转化为方程log3

9x+1
m

-x=0有实根，由此可求m的取值范围．

（1）因为y=f（x）为偶函数，所以∀x∈R，f（-x）=f（x），

即log3（9-x+1）-kx=log3（9x+1）+kx对于∀x∈R恒成立．

即2kx=log3（9-x+1）-log3（9x+1）=-2x恒成立

即（2k+2）x=0恒成立，

而x不恒为零，所以k=-1；

（2）函数g（x）=f（x）-log3m=log3（9x+1）-x-log3m

令log3（9x+1）-x-log3m=0，则方程log3

9x+1

m-x=0有实根

等价于32x-m•3x+1=0有实根

令3x=t，则t2-mt+1=0，且t＞0．

由韦达定理，两根同号．由t＞0可知，两根都大于0

所以可得不等式组

m2−4≥0

m＞0，解得：m≥2

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题重点考查函数的性质，考查函数与方程的关系，解题的关键是正确运用偶函数的定义，合理将问题进行等价转化．

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