（2012•成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△A
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解题思路：（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；
（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离．
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
∵
BE＝CE
∠B＝∠C
BP＝CQ]，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；
（2）连接PQ，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∴△BPE∽△CEQ，
∴[BP/CE＝
BE
CQ]，
∵BP=a，CQ=[9/2]a，BE=CE，
∴[a/CE＝
CE
9
2a]，
∴BE=CE=
3
2
2a，
∴BC=3
2a，
∴AB=AC=BC•sin45°=3a，
∴AQ=CQ-AC=[3/2]a，PA=AB-BP=2a，
在Rt△APQ中，PQ=
AQ2+AP2=[5/2]a．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．
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