如图1,△DEF的顶点D在△ABC的边BC上（不与B、C重合）,且∠BAC+∠EDF=180°,
2个回答
（1）∠BPD与∠FDB的关系是互补；
证明：如图1,延长ED至M,使得DM=DE,连接FM；
则∠BAC=∠FDM=180°-∠EDF；
∵AB=k•DF,AC=k•DE,即AB*DF=AC*DE=k,
∴AB*DF=AC*DM,
∴△BAC∽△FDM,得∠M=∠C；
由于D、Q分别是EM、EF的中点,所以DQ是△EMF的中位线,得：
DQ∥MF,则∠M=∠1=∠C；
∵∠BAC+∠EDF=180°,
∴A、D、G、H四点共圆,得∠3=∠2；
由三角形的外角性质知：∠3=∠1+∠BPD,∠2=∠HDC+∠C；
∵∠1=∠C,∠3=∠2,
∴∠BPD=∠HDC,即∠BPD与∠FDB互补．
（2）分两种情况讨论：
①当点Q在直线BC上方时,结论与（1）相同,证法一致；
②当点Q在直线BC下方时,如图2；
延长ED至M,使得DM=DE,连接FM；
同（1）可证得：△FDM∽△BAC,得∠7=∠B；
延长FD交AB于H,则∠4=∠6；
同（1）可知：DQ是△EMF的中位线,得：∠7=∠6=∠4,故∠B=∠4；
由三角形的外角性质知：∠BPD=∠5+∠4,∠FDB=∠B+∠5,
∴∠BPD=∠FDB；
综上可知：当点Q在直线BC上方时,∠BPD、∠FDB互补；当点Q在直线BC下方时,∠BPD、∠FDB相等．
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