如图,已知等边三角形ABC中,D为BC边上一点,F为AB边上一点,且CD=BF,以AD为边作等边三角形ADE,连接EF、
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【不能无图,若等边三角形ADE作在远离B一侧,命题就不成立了.】
证明：
1.已知等边三角形ABC,
有AC=CB,∠ACD=∠CBF=∠ABC=∠BAC=60度,
又CD=BF,
∴△ADC≌△CFB,【SAS】
即三角形ADC全等三角形CFB.
2.连接BE.
由上面证明有：
∠CDA=∠BFC,∠CAD=∠BCF,
等边三角形ADE中,
∠ADE=∠AED=∠DAE=60度,AE=DE=AD;
则∠BDE=180度-∠ADE-∠CDA
=120度-∠CDA
=120度-∠BFC,
又三角形CFB中,
∠BCF=180度-∠ABC-∠BFC
=120度-∠BFC,
∴∠BDE=∠BCF;
∠FAE=∠DAE-∠BAD
=∠BAC-∠BAD
=∠CAD
=∠BCF,
∴∠BDE=∠FAE;
又DE=AE,BD=BC-CD=AB-BF=FA,
∴△BDE≌△FAE,【SAS】
∴∠BED=∠FEA,BE=FE,
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠FEA+∠DEF=∠AED=60度;
则△BEF为等边三角形,EF=CD,
∴∠EFB=60度,
∴∠EFB=∠ABC,
∴EF//CD,
又EF=CD.
得到：四边形EFCD是平行四边形.
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