已知圆C过原点O，且与直线x+y=4相切于点A（2，2）．
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解题思路：（1）根据题意得到圆心即为线段OA的中点，求出线段OA中点坐标即为圆心，求出圆心到A的距离即为半径r，写出圆C方程即可；
（2）①设射线方程为y=kx，代入圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出M的横坐标，根据射线与x=3相交，得到M横坐标与3同号，确定出k大于-1，利用两点的距离公式表示出OM•ON，化简后根据k的范围确定出其值不存在最小值；
②由P坐标表示出OP，将OM•ON与OP的值代入OP2=OM•ON，再将k=
y
0
x
0
代入化简即可得证．
（1）由题意得：圆心为OA的中点（1，1），半径r=
12+12=
2，
∴圆C的方程为（x-1）2+（y-1）2=2；
（2）①设射线所在直线方程为y=kx，
将它代入（x-1）2+（y-1）2=2得：（k2+1）x2-（2k+2）x=0，
∴xM=
2k+2
k2+1，
∵射线y=kx与直线x=3相交，
∴xM与3同号，
∴k＞-1，
∴OM•ON=
xM2+yM2•
xN2+yN2=
(2k+2)2+(2k2+2k)2
(k2+1)2•
9+(3k)2=3|2k+2|=6k+6，
∵k＞-1，
∴OM•ON无最小值；
②证明：∵OP2=OM•ON，
∴x02+y02=6k+6，
又y0=kx0，
∴k=
y0
x0代入上式得：x03+x0y02-6x0-6y0=0．
点评：
本题考点： 直线与圆的位置关系．
考点点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，线段中点坐标公式，直线斜率，熟练掌握公式是解本题的关键．
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