解题思路：（1）将已知条件化简为an+1=[1+
1+cosnπ
2]]an+[1−cosnπ/2]，而a1=-1，可求得a2，a3，a4；并能证明：a2m+1+2=2（a2m-1+2），m∈N*
（2）①讨论r，在r≠0的情况，利用二次函数的最值，结合r的范围运用放缩法证明；
②利用放缩法将所求转化，并运用等比数列求和，再结合r的范围放缩证明．
（1）∵an+1=[1+[1+cosnπ/2]]an+[1−cosnπ/2]，a1=-1，
∴a2=a1+1=0，a3=2a2=0，a4=a3+1=1；
a2m+1=2a2m=2a（2m-1）+1
=2{[1+
1+cos(2m−1)π
2]a2m-1+
1−cos(2m−1)π
2}
=2（a2m-1+1），
∴a2m+1+2=2a2m-1+4=2（a2m-1+2）．m∈N*
（2）由（1）可得：a2m+1+2是以1为首项，2为公比的等比数列，故a2m+1+2=2m，
∴a2m+1=2m-2，
∴fn（x）=[1/2]+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+…+rn-1cos2n-2x．（n≥2，n∈N*）
①证明：1°当r=0时，显然0≥-[3/8]，
2°当r≠0时，设φ（x）=rcosx+r2cos2x=r2（2cos2x-1）+rcosx
=2r2(cosx+
1
4r)2−
1
8−r2≥−
1
8−r2≥−
1
8−(
1
2)2＝−
3
8．（|r|≤
1
2）
当|r|≤
1
2时，，∀x∈R，∀n∈N*（n≥2），
②证明：f2n+1＝
1
2+rcosx+r2cos2x+r3cos4x+r4cos8x+…+r2n−1cos22(n−1)x+r2ncos22n−1x
=[1/2+φ(x)+r2φ(4x)+…+r2(n−1)•φ(4n−1x)
≥
1
2−
3
8(1+r2+…+r2(n−1))
≥
1
2−
3
8(1+
1
4+…+
1
4n−1)
=
1
2−
3
8
点评：
本题考点： 数列与三角函数的综合．
考点点评： 本题是不等式的综合题，关键是灵活运用放缩法将不等关系“细化”，放缩法证明不等式是高考的难点，也是综合题里的常考点，属于难题．
1年前
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