(本小题满分12分）某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草. 为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关
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(Ⅰ) 设椭圆的方程为＋＝1( a > b >0)，
由已知，2 a ＝4， a － c ＝1， a ＝2， c ＝1，
∴ b ＝，故椭圆的标准方程＋＝1.……3分
(Ⅱ)①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0，
设直角三角形斜边所在直线方程为 y
＝ kx ＋ m ，斜边与椭圆的交点 A ( x 1， y 1)， B ( x 2， y 2)，
联立方程组 y=kx+m
＋＝1
得3 x 2＋4( kx ＋ m ) 2＝12，即(3＋4 k 2) x 2＋8 kmx ＋4 m 2－12＝0，
则Δ＝64 k 2m 2－4(3＋4 k 2)(4 m 2－12)＝48(4 k 2－ m 2＋3)>0，即4 k 2－ m 2＋3>0.
x 1+ x 2=" - " 8 km
3＋4 k 2
x 1x 2=， …………6分
y 1y 2＝( kx 1＋ m )( kx 2＋ m )＝ k 2x 1x 2＋ km ( x 1＋ x 2)＋ m 2＝ k 2－＋ m 2
＝，
要使△ AOB 为直角三角形，需使 x 1x 2＋ y 1y 2＝0
，
即＋＝0，所以7 m 2－12 k 2－12＝0， …………8分
即 m 2＝，故4 k 2－ m 2＋3＝4 k 2＋3－＝>0，
所以| AB |＝＝＝
＝
＝＝
＝≤.
当仅当16 k 2＝， k ＝±时，等号成立. …………10分
②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为.
综上可知，观赏小道长度的最大值为2(百米). …………12分
略
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