解题思路：（I）由Tn=[3/2]n2-[1/2]n，先求数列{an}的通项公式；代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根据对数的运算性质化简即可求出{bn}的通项公式；
（II）把第一问求出的两数列的通项公式代入cn=an•bn中，确定出cn的通项公式，从而求数列{cn}的前n项和Sn；
（III）表示出cn+1-cn，判断得到其差小于0，故数列{cn}为递减数列，令n=1求出数列{cn}的最大值，然后原不等式的右边大于等于求出的最大值，列出关于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即为实数m的取值范围．
（I）由Tn=[3/2]n2-[1/2]n，易得an=3n-2代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根据对数的运算性质化简bn=(
1
4)n（n∈N*），
（II）cn=an•bn=(3n−2)×(
1
4)n，∴Sn＝1×
1
4+4×(
1
4)2++(3n−2)×(
1
4)n∴
1
4Sn＝1×(
1
4)2+4×(
1
4)3++(3n−2)×(
1
4)n+1
两式相减整理得Sn＝
2
3−
3n+2
3×(
1
4)n
（III）cn=an•bn=（3n-2）•(
1
4)n∴cn+1-cn=（3n+1）•(
1
4)n+1-（3n-2）•(
1
4)n=9（1-n）•(
1
4)n+1（n∈N*），
∴当n=1时，c2=c1=[1/4]，
当n≥2时，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞…＞cn，
∴当n=1时，cn取最大值是[1/4]，又cn≤[1/4]m2+m-1对一切正整数n恒成立∴[1/4]m2+m-1≥[1/4]，即m2+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．
考点点评： 此题考查了等比数列的通项公式，对数的运算性质及数列与不等式的综合．要求学生熟练掌握对数的运算性质，以及不等式恒成立时满足的条件．
