（2014•南昌三模）已知函数f（x）=ex（ax+b），曲线y=f（x）经过点P（0，2），且在点P处的切线为l：y=
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解题思路：（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，和切线方程之间的关系，求常数a，b的值；
（2）构造方程，利用导数取证明曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点；
（3）是将不等式f（x）≥k（4x+2）恒成立，转化为函数最值成立，构造函数，利用导数进行求解．
（1）f′（x）=ex（ax+a+b）…（1分），
依题意，
f(0)＝2
f/(0)＝4，
即
e0(a×0+b)＝2
e0(a×0+a+b)＝4…（3分），
解得a=b=2…（5分）．
（2）记g（x）=ex（ax+b）-（4x+2）=2ex（x+1）-2（2x+1），
则g′（x）=2ex（x+2）-4…（6分），
当x=0时，g′（x）=0；
当x＞0时，g′（x）＞0；
当x＜0时，g′（x）＜0…（8分），
∴g（x）≥g（0）=0，等号当且仅当x=0时成立，
即f（x）≥4x+2，等号当且仅当x=0时成立，曲线y=f（x）和直线l只有一个公共点…（9分）．
（3）x∈[-2，-1]时，4x+2＜0，
∴f（x）≥k（4x+2）恒成立当且仅当k≥
f(x)
4x+2＝
ex(x+1)
2x+1…（10分），
记h(x)＝
ex(x+1)
2x+1，x∈[-2，-1]，
h/(x)＝
ex(2x2+3x)
(2x+1)2…（11分），
由h′（x）=0得x=0（舍去），x＝−
3
2…（12分）
当−2≤x＜−
3
2时，h′（x）＞0；
当−
3
2＜x≤−1时，h′（x）＜0…（13分），
∴h(x)＝
ex(x+1)
2x+1在区间[-2，-1]上的最大值为h(−
3
2)＝
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，运算量较大，综合性较强，难度较大．
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