已知三角形ABC是边长为4根号2的正三角形,SC垂直于平面ABC,且SC=2,D、E分别是AB、BC的中点
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设公垂线为MN 其中M在SE上N在CD上
建立
以C为原点
以CS为y轴
以CA为x轴
以垂直于平面SCA（画图的时候最好让SAC与纸面属于一个平面）过点C直线为z轴
其中向纸里方向为z的正半轴
这样不难看出,向量CS=（0,2,0）,向量CA=（4√2,0,0）,向量CE向量=（2√2,0,0）向量SE=向量CE-向量CS=（2√2,-2,0）
M在SE上所以有向量CM=λ向量CS+（1-λ）向量CE=（0,2λ,0）+（2√2（1-λ）,0,0）=（（2√2（1-λ）,2λ,0）【λ≠0】
BD长为2√2,CD长为2√6所以D点x轴坐标为2√6*cos30°=3√2 y轴坐标为0 z轴座标为2√6*sin30°=√6 即向量CD=（3√2,0,√6）
N为CD上一点所以向量CN=a向量CD,于是向量CN=（3a√2,0,a√6）【a≠0】
向量CN=向量CM+向量MN
所以向量MN=（3a√2-2√2（1-λ）,-2λ,a√6）
因为MN是SE与CD公垂线所以有
① 向量MN×向量SE=0
② 向量MN×向量CD=0
这样就可以列出两个方程：
（3a√2-（2√2（1-λ））×2√2+（-2λ×（-2））+ （a√6×0）=0
（3a√2-（2√2（1-λ））×3√2+（-2λ×0）+（√6×a√6）=0
解得a=1 /3 λ= 1/3
从图可以找出CN=1/3CD,ME=1/3SE的
这样把a=1 /3 λ= 1/3带入MN=（3a√2-2√2（1-λ）,-2λ,a√6）得出向量MN=（-√2/3,-2/3,√6/3） 所以MN长为√（（-√2/3）²+（-2/3）²+（√6/3）²）=2√3/3
也就是公垂线的长为2√3/3
ps：这题我也算好久--!
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