函数f(x),g(x)在区间[a,b]上都有意义,且在此区间上
①f(x)为增函数,f(x)>0;
②g(x)为减函数,g(x)<0.
判断f(x)g(x)在[a,b]的单调性,并给出证明.
解题思路:令a≤x1<x2≤b,由f(x)、g(x)的单调性可得f(x1)与f(x2)的大小,g(x2)与g(x1)的大小,通过作差可判断
f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)的符号,由单调性的定义可得结论.
减函数,
令a≤x1<x2≤b,则有f(x1)-f(x2)<0,即可得0<f(x1)<f(x2);
同理有g(x1)-g(x2)>0,即可得g(x2)<g(x1)<0;
从而有f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)
=f(x1)g(x1)-f(x1)g(x2)+f(x1)g(x2)-f(x2)g(x2)
=f(x1)(g(x1)-g(x2))+(f(x1)-f(x2))g(x2)(*),
显然f(x1)(g(x1)-g(x2))>0,(f(x1)-f(x2))g(x2)>0,
从而(*)式>0,
故函数f(x)g(x)为减函数.
点评:
本题考点: 函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考查函数单调性的判断及其证明,属中档题,定义是解决问题的基本方法,解答本题的关键是对f(x1)g(x1)-f(x2)g(x2)进行添加项作出恰当变形.
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