1 设f(x)=arctanx,则f'(x)=1/(1+x²)
a=b时,不等式显然成立
而当a≠b时,(arctanb-arctana)/(b-a)
=(f(b)-f(a))/(b-a),由中值定理知存在
ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)
∴|f(b)-f(a)/(b-a)|=|f'(ξ)|=|1/(1+ξ²)|≤1
∴|f(b)-f(a)|≤|b-a|,即|arctanb-arctana|≤|b-a|
2 在1题中令a=0,b=x,即得
|arctanx|≤|x|,又x≥0,∴arctanx≥0
即x≥arctanx
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