已知函数f(x)=log4(4x+1).
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解题思路:(1)通过换元,令令t=4x+1,可求得函数f(x)的值域;

(2)设x1<x2,作差F(x1)-F(x2)=

lo

g

4

1+

4

x

1

1+

4

x

2

,利用函数的性质判断其符合小于0,从而可证函数F(x)=f(x)-x在定义域上为增函数;

(3)函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点⇔方程

log

4

(4

x

+1)

=

log

4

(a

•2

x

3

4

a)

有且只有一个实数根⇔4x+1=(a•2x-[3/4]a)有且只有一个实数根,令t=2x>0,解关于t的方程t2-at+[3/4]a+1=0(有且只有一个正根)即可.

(1)令t=4x+1,

∵4x>0,

∴t>1,

∴y=log4t>0,

所以函数f(x)的值域为(0,+∞).…(2分)

(2)∵F(x)=f(x)-4的定义域为R,

∴对任意x1,x2∈R,且x1<x2

则F(x1)-F(x2)=log4(4x1+1)-4-[log4(4x2+1)-4]

=log4

1+4x1

1+4x2,

∵x1,x2∈R,且x1<x2

∴4x1<4x2,

∴0<4x1+1<4x2+1,从而

4x1+1

4x2+1<1,

∴log4

1+4x1

1+4x2<0,故F(x1)-F(x2)<0,

即F(x1)<F(x2),

所以函数F(x)=f(x)-x在定义域上为增函数.…(4分)

(3)因为函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,

即方程log4(4x +1)=log4(a•2x−

3

4a)有且只有一个实数根,

∴4x+1=(a•2x-[3/4]a)有且只有一个实数根,

∴(2x2+1=(a•2x-[3/4]a),即(2x2-a•2x+[3/4]a+1=0.

令t=2x>0,则关于t的方程t2-at+[3/4]a+1=0(*)有且只有一个正根.…(6分)

则方程(*)的两根异号或有两个相等的正根.

点评:

本题考点: 对数函数图象与性质的综合应用.

考点点评: 本题考查对数函数图象与性质的综合应用,考查换元思想与方程思想,考查函数单调性的定义,考查推理与运算能力,属于难题.