已知函数f（x）=log4（4x+1）-[x/2]．
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解题思路：（Ⅰ）利用奇偶函数的定义判断f（-x）与f（x）的关系；
（Ⅱ）只要m≥f（x）的最小值即可；求f（x）的最小值；
（Ⅲ）由1+2x+3x+…+（n-1）x-nxa＞0得到a＜
(
1
n
)
x
+(
2
n
)
x
+…+(
n-1
n
)
x
恒成立，可知
y
i
=(
i
n
)
x
，i=1，2…n-1，是减函数，得到y=
(
1
n
)
x
+(
2
n
)
x
+…+(
n-1
n
)
x
也是减函数，求其最小值，只要a小于其最小值即可．
（Ⅰ）f（x）是偶函数，
∵f（-x）=log4（4-x+1）+[x/2]=log4
1+4x
4x+[x/2]=log4（4x+1）-[x/2]=f（x）．
故f（x）是偶函数．
（Ⅱ）∵f（x）-m=0∴m=f（x）=log4（4x+1）-[x/2]=log4（4x+1）-log42x=log4（2x+
1
2x），又2x+
1
2x=(
2x-
1
2x)2+2≥2，∴m≥[1/2]；
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥[1/2]．
（Ⅲ）由1+2x+3x+…+（n-1）x-nxa＞0
知a＜(
1
n)x+(
2
n)x+…+(
n-1
n)x恒成立
又∵yi=(
i
n)x，i=1，2…n-1，是减函数，
∴y=(
1
n)x+(
2
n)x+…+(
n-1
n)x也是减函数，
∴在区间（-∞，1]上有ymin=
1
n+
2
n+
3
n+…+
n-1
n=
n-1
2＞a，
∴a的取值范围是（-∞，[n-1/2]）．
点评：
本题考点： 函数的零点与方程根的关系；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题考查了函数奇偶性的判断以及方程根与函数零点的关系，同时考查了恒成立问题，属于难题．
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