已知定义在R上的函数f(x)=ax的3次方-2bx平方+cx+4d的图像关于原点对称.且x=1时.f(x)取得极小值-2

已知定义在R上的函数f(x)=ax的3次方-2bx平方+cx+4d的图像关于原点对称.且x=1时.f(x)取得极小值-2/5

1.求f（x）的解析式.2.当X属于[-1.1]时.函数图像上是否存在2点.使得这2点处的切线互相垂直?3.设X1∈[-1.1].求证|f（x1）-f（x2)|≤4/5

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1个回答

（1）f(x)的图像关于原点对称,它是奇函数

所以 b=0,d=0

f(x)=ax³+cx

f'(x)=3ax²+c

f'(1)=3a+c=0 (1)

f(1)=a+c=-2/5 (2)

解方程,得 a=1/5,c=-3/5

f(x)=x³/5 -3x/5

(2) f'(x)=3x²/5-3/5

假设存在这样的两点,横坐标分别为x1,x2

则f'(x1)f'(x2)=-1

(9/25) (x1²-1)(x2²-1）=-1

因为 x1²-1≤0,x2²-1≤0,

(9/25) (x1²-1)(x2²-1）≥0,不可能等于-1

所以,函数图像上不存在2点.使得这2点处的切线互相垂直；

（3）f'(x)=3x²/5-3/5=（x²-1）*(3/5)≤0恒成立

所以 f(x)在【-1,1】上递减

最小值为f(1)=-2/5

最大值为f(-1)=2/5

|f（x1）-f（x2)|≤f(x)最大值-f(x)最小值=2/5-(-2/5)=4/5

命题成立

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