解题思路：（1）由函数是奇函数可求得b=0，然后求出函数f（x）的导函数，再由x=1时，f（x）取极小值-
2
3]列关于a，c的方程组求解a，c的值；
（2）把a，b，c代入函数解析式，求出函数的导函数，分析可知在[-1，1]上不存在两个x的值，使得
f
′
(
x
1
)
f
′
(
x
2
)＝−1
．
（1）由函数f（x）=ax3-2bx2+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，可知函数f（x）为定义域上的奇函数，
所以b=0，则f（x）=ax3+3cx，f′（x）=3ax2+3c．
又当x=1时，f（x）取极小值-[2/3]，
所以
3a+3c＝0
a+3c＝−
2
3，解得a＝
1
3，c＝−
1
3．
所以a=[1/3]，b=0，c=−
1
3；
（2）由（1）得f（x）=[1/3x3−xf′（x）=x2-1
设x1，x2∈[-1，1]
若存在两点x1，x2，使得在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)f′(x2)＝−1
即(x1x2)2−(x12+x22)+2＝0．
因为x1，x2∈[-1，1]，所以(x1x2)2−(x12+x22)+2＞0．
所以不存在两点的切线互相垂直．
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查了奇函数的对称性，考查了函数在某点处取得极值的条件，训练了函数在某点出的切线方程与在该点处导数的关系，考查了逆向思维方法，是中档题．
1年前
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