已知函数f（x）=ax 3 -2bx 2 +3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-
1个回答
（1）由函数f（x）=ax 3-2bx 2+3cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，可知函数f（x）为定义域上的奇函数，
所以b=0，则f（x）=ax 3+3cx，f′（x）=3ax 2+3c．
又当x=1时，f（x）取极小值-
2
3 ，
所以
3a+3c=0
a+3c=-
2
3 ，解得 a=
1
3 ，c=-
1
3 ．
所以a=
1
3 ，b=0，c= -
1
3 ；
（2）由（1）得f（x）=
1
3 x 3 -x f′（x）=x 2-1
设x 1，x 2∈[-1，1]
若存在两点x 1，x 2，使得在这两点处的切线互相垂直，则 f ′ ( x 1 ) f ′ ( x 2 )=-1
即 ( x 1 x 2 ) 2 -( x 1 2 + x 2 2 )+2=0 ．
因为x 1，x 2∈[-1，1]，所以 ( x 1 x 2 ) 2 -( x 1 2 + x 2 2 )+2＞0 ．
所以不存在两点的切线互相垂直．
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