（2013•日照二模）设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数
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解题思路：（I）先将题设中数列的和与项的关系式转化为数列的项的关系式，根据等差数列的定义证明即可；
（II）求出an，再求出数列
{
4
a
2
n
−1
}
的通项，用裂项相消法求出Tn，根据Tn的单调性证明即可．
（Ⅰ）∵（an-1）（an+3）=4Sn，当n≥2时，（an-1-1）（an-1+3）=4Sn-1，
两式相减，得
a2n−
a2n−1+2an−2an−1＝4an，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，又an＞0，∴an-an-1=2．
当n=1时，（a1-1）（a1+3）=4a1，∴（a1+1）（a1-3）=0，又a1＞0，∴a1=3．
所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a1=3，d=2，∴an=2n+1．
设bn＝
4
an2−1]，n∈N*；∵an=2n+1，∴an2−1＝4n(n+1)))
∴bn＝
4
4n(n+1)＝
1
n(n+1)＝
1
n−
1
n+1
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−
1
n+1)=1−
1
n+1＜1．
又∵Tn+1−Tn＝
n+1
n+2−
n
n+1＝
1
(n+2)(n+1)＞0，∴Tn+1＞Tn＞Tn−1＞…＞T1＝
1
2，
综上所述：不等式
1
2≤Tn＜1成立．
点评：
本题考点： 数列的求和；等差关系的确定；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查裂项相消法求数列的和及利用定义证明等差数列．
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