设数列{an}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an．

设数列{an}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈N*都有an2=2Sn-an．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=（2n+1）

2

a

n

，求数列{bn}的前n项和Tn．

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解题思路：（1）当n=1时，可求得a1，由an2=2Sn-an⇒

a

n+1

2

=2Sn+1-an+1，两式相减，可得an+1-an=1，从而可证数列{an}是等差数列，于是可求数列{an}的通项公式；

（2）由（1）知，bn=（2n+1）•2n，Tn=b1+b2+…+bn=3×2+5×22+…+（2n+1）•2n，利用错位相减法即可求得Tn．

（1）∵an2=2Sn-an，

∴当n=1时，a12=2a1-a1，即a12=a1，

∵a1＞0，a1=1…1分

又an+12=2Sn+1-an+1，

∴an+12-an2=2（Sn+1-Sn）-an+1+an，

即（an+1-an）（an+1+an）=an+1+an，{an}的各项都是正数，

∴an+1-an=1…4分

∴数列{an}是1为首项，公差为1的等差数列，

∴an=n…6分

（2）由（1）知，bn=（2n+1）2an=（2n+1）•2n，

∴Tn=b1+b2+…+bn=3×2+5×22+…+（2n+1）•2n①

∴2Tn=3×22+5×23+…+（2n-1）×2n+（2n+1）•2n+1②…8分

①-②得：-Tn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-（2n+1）•2n+1

=6-（2n+1）•2n+1+

23(1-2n-1)

1-2

=-（2n-1）•2n+1-2，

∴Tn=（2n-1）•2n+1=2…12分

点评：

本题考点： 数列的求和；数列的概念及简单表示法．

考点点评： 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的判定及其通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，属于中档题．

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