已知f(x)=x平方+c,且f[f(x)]=f(x平方+1）.

已知f(x)=x平方+c,且f[f(x)]=f(x平方+1）.

1.求g(x)解析式.

2.设∮(x)=g(x)-入f(x),是否存在实数入,使∮(x)在(-∞,-1）上是减函数,并且在(-1,0)上是增函数?

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2个回答

(1)

f[f(x)]=(x^2+c)^2+c

=x^4+2cx^2+c^2+c

f(x^2+1)=(x^2+1)^2+c

=x^4+2x^2+c+1

对比系数得

2c=2

c^2+c=c+1

即得c=1

f(x)=x^2+1

g(x)=x^4+2x^2+2

(2)

φ(x)=g(x)-λf(x)

=x^4+2x^2+2-λ(x^2+1)

=x^4+(2-λ)x^2+1

设x^2=t

=t^2+(2-λ)t+1

对称轴t=(λ-2)/2

φ(x)在x∈(-∞,-1)内为减函数且在x∈(-1,0)内是增函数

t=x^2在x∈(-∞,0)内为减函数

由复合函数单调性

知需φ(t)在t∈(1,+∞)内为增函数且在t∈(0,1)内是减函数

即得(λ-2)/2=1

λ-2=2

λ=4

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