设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是Ax=0的解，即Aβ≠0．
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解题思路：向量组x1，…，xm线性无关的充要条件是：
若存在一组常数k1，…，km，使得k1x1+…+kmxm=0，
则必有k1=…=km=0．
假设存在一组常数k，k1，…，kt，使得：
kβ+
t
i＝1ki(β+αi)=0，
即：(k+
t
i＝1ki)β=
t
i＝1(−ki)αi．①，
①上式两边同时乘以矩阵A，则有
(k+
t
i＝1ki)Aβ=
t
i＝1(−ki)Aαi．
因为：α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，
所以：Aαi=0，故有
(k+
t
i＝1ki)Aβ=0，
又因为：Aβ≠0，
所以：k+
t
i＝1ki=0，②，
将②代入①式左端，得：
t
i＝1(−ki)αi=0．
因为：α1，α2，…，αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，
所以：α1，α2，…，αt是线性无关，
从而：k1=…=kt=0，
将上式又代入②式得：
k=−
t
i＝1ki=0，
所以：k=k1=…=kt=0，
因此，向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关，证毕．
点评：
本题考点： 向量组线性无关的判定与证明．
考点点评： 本题主要考查了向量组线性无关的判定与证明、基础解系的概念与性质；解题的关键在于熟练利用以下定理：向量组x1，…，xm线性无关⇔若存在一组常数k1，…，km，使得k1x1+…+kmxm=0，则必有k1=…=km=0．
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