判断函数f(x)＝ax+1x+2(a≠12)在（-2，+∞）上的单调性，并证明你的结论．
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解题思路：设x1，x2∈（-2，+∞）且x1＜x2，化简f（x2）-f（x1），变形到因式乘积的形式，判断符号，注意分类讨论，可得答案．
设x1，x2∈（-2，+∞）且x1＜x2∵f(x)＝
ax+2a+1−2a
x+2＝a+
1−2a
x+2（2分）
∴f（x2）-f（x1）=(a+
1−2a
x2+2)−(a+
1−2a
x1+2)
=(1−2a)(
1
x2+2−
1
x1+2)=(1−2a)•
x1−x2
(x2+2)(x1+2)（8分）
又∵-2＜x1＜x2，∴
x1−x2
(x2+2)(x1+2)＜0
∴当1-2a＞0，即a＜
1
2时，f（x2）＜f（x1），
当1-2a＜0，即a＞
1
2时，f（x2）＞f（x1），
所以，当a＜
1
2时，f(x)＝
ax+1
x+2在（-2，+∞）为减函数；
当a＞
1
2时，f(x)＝
ax+1
x+2在（-2，+∞）为增函数．（12分）
点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查证明函数单调性的方法，体现分类讨论的数学思想．
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