（1）证明：设C（x 1，y 1）D（x 2，y 2）E（x 0，y 0），则
x 1 2
a 2 +
y 1 2
b 2 =1 (1) ，
x 2 2
a 2 +
y 2 2
b 2 =1 (2)
两式相减得
( x 1 - x 2 )( x 1 + x 2 )
a 2 +
( y 1 - y 2 )( y 1 + y 2 )
b 2 =0
即
2 x 0 ( x 1 - x 2 )
a 2 +
2 y 0 ( y 1 - y 2 )
b 2 =0 …（3分）
∴ k 1 =
y 1 - y 2
x 1 - x 2 =
- b 2 • x 0
a 2 • y 0 =-
b 2
a 2 • k 2
∴ k 1 • k 2 =-
b 2
a 2 …（7分）
（2）逆命题：设直线L 1：y=k 1x+p交椭圆 Γ：
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 (a＞b＞0) 于C、D两点，交直线L 2：y=k 2x于点E．若 k 1 • k 2 =-
b 2
a 2 ，则E为CD的中点．…（9分）
证法一：由方程组
y= k 1 x+p
x 2
a 2 +
y 2
b 2 =1 ⇒( b 2 + a 2
k 21 ) x 2 +2 k 1 p a 2 x+ a 2 p 2 - a 2 b 2 =0 …（10分）
因为直线L 1：y=k 1x+p交椭圆C、D于C、D两点，
所以△＞0，即 a 2
k 21 + b 2 - p 2 ＞0 ，设C（x 1，y 1）、D（x 2，y 2）、E（x 0，y 0）
则∴ x 0 =
x 1 + x 2
2 =
- k 1 p a 2
b 2 + a 2
k 21 ， y 0 =
y 1 + y 2
2 =
p b 2
b 2 + a 2
k 21 …（12分）
y= k 1 x+p
y= k 2 x ⇒
x=
p
k 2 - k 1
y= k 2 x
又因为 k 1 • k 2 =-
b 2
a 2 ，所以
x=
p
k 2 - k 1 =
- a 2 k 1 p
b 2 + a 2
k 21 = x 0
y= k 2 x=
b 2 p
b 2 + a 2
k 21 = y 0 ，故E为CD的中点．…（14分）
证法二：设C（x 1，y 1）D（x 2，y 2）E（x 0，y 0）
则
x 1 2
a 2 +
y 1 2
b 2 =1 (1) ，
x 2 2
a 2 +
y 2 2
b 2 =1 (2)
两式相减得
( x 1 - x 2 )( x 1 + x 2 )
a 2 +
( y 1 - y 2 )( y 1 + y 2 )
b 2 =0
即 k 1 =
y 1 - y 2
x 1 - x 2 =
- b 2 •( x 1 + x 2 )
a 2 •( y 1 + y 2 ) …（9分）
又∵ k 1 • k 2 =-
b 2
a 2 ， k 2 =
y 0
x 0 ，
y 1 + y 2
x 1 + x 2 =
x 0
y 0 即
k 1 x 1 +p+ k 2 x 2 +p
x 1 + x 2 =
k x 0 +p
x 0 …（12分）∴ k 1 +
2p
x 1 + x 2 = k 1 +
p
x 0
得x 1+x 2=2x 0∴y 1+y 2=2y 0，即E为CD的中点．…（14分）
（3）设直线L 1：y=k 1x+p，p≠0交双曲线 Γ：
x 2
a 2 -
y 2
b 2 =1 (a＞0 ，b＞0) 于C、D两点，交直线L 2：y=k 2x于点E．
则E为CD中点的充要条件是 k 1 • k 2 =
b 2
a 2 ．…（16分）
