两个n阶方阵A,B乘积的秩满足不等式:r(A)+r(B)-n ≤ r(A·B).
而A·A* = |A|·E这是伴随矩阵的性质.
A退化时|A| = 0,于是A·A* = |A|·E = 0,r(A·A*) = 0.
哪步有疑问我再解释.
第一步应该算基本的不等式了,可以证明如下:
考虑分块矩阵
A 0
-E B
可经初等行列变换变为
0 AB
-E 0
前者的秩 ≥ r(A)+r(B),后者的秩 = r(AB)+n,比较即得.
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