矩阵A（m*n）,R（A）=m<n,等式R(A乘以A的转置)=R(A)为什么成立呢?
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定理：r(B^TB)=r(B)=r(B^T)对任意矩阵都成立.

证明：只需证明齐次线性方程组Bx=0与B^TBx=0同解,则由基础解系的理论知道有

n-r(B^TB)=n-r(B),即r(B^T)=r(B).

显然Bx=0的解都是B^TBx=0的解,再证B^TBx=0的解都是Bx=0的解.

令y=Bx,在B^TBx=0左乘x^T得

y^Ty=x^TB^TBx=0,因此0=y^Ty=y1^2+y2^2+...+ym^2,故y1=y2=...=ym=0,

即y=0,或者Bx=0,于是B^TBx=0的解都是Bx=0的解.

定理证毕.由这个定理,只需令题目中的A^T=B即得要证结论.

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