.设A是m×n实矩阵,若r（ATA）=5,则r（A）= AT表示矩阵A的转置
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证明r(ATA)=r(A)即可

构造两个齐次线性方程组：

（1）Ax=0,(2)(AT A)x=0

如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数.

这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容.

现在来证明它们同

首先,如果x1是（1）的解,那么它肯定也是（2）的解,因为将其代入（2）：

(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0

其次证明（2）的解也是（1）的

设x1是（2）的解,则AT A x1=0

进一步有：x1T AT A x1=0

即(Ax1)T (Ax1)=0

假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T

则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0

那么只有a1=a2=...=an=0

也就是Ax1=0

至此说明了(2)的解也是(1)的解.

于是R(A)=R(AT A)

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