解题思路：（1）根据题意分别求出B1、B2，利用归纳法求出Bn，再由分组求和法求出和式的值；
（2）根据题意分别求出c1，c2，c3，再进行作差：c1+c3-2c2，化简后判断出符号，即得证；
（3）①先设c1，c2，c3成等比数列求出公比q，再去检验
c
4
c
3
是否为q，求出m和q；
②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．
（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，
B3=1+（1+q）=2+q，…，Bn=（n-1）+q，
∴B1+B2+…+Bn=1+2+…+（n-1）+nq=
n(n−1)
2+nq．
（2）由题意得，c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，
c3＝(2+q)+(1+q+q2)＝3+2q+q2，
由 c1+c3−2c2＝1+3+2q+q2−2(2+q)＝q2＞0，
即 c1+c3＞2c2．
（3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由c1c3＝
c22得，
3+2q+q2=（2+q）2，q＝−
1
2．
此时 c1=1，c2＝
3
2，c3＝
9
4，
∴c1，c2，c3是一个公比为[3/2]的等比数列．
如果m≥4，c1，c2，…，cm为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．
由上所述，此时q＝−
1
2，c1＝1，c2＝
3
2，c3＝
9
4，c4＝
23
8，
由于
c4
c3≠
3
2，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，cm一定不是等比数列．
综上所述，当且仅当m=3且q＝−
1
2时，数列c1，c2，…，cm是等比数列．
②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n-1，
则x1＝1，x2＝k+q，x3＝(1+2+3+…+k)+kq+q2＝
k(k+1)
2+kq+q2，
若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则
由x1x3＝
x22，得
k(k+1)
2+kq+q2＝(k+q
点评：
本题考点： 等比关系的确定；等比数列的通项公式．
考点点评： 本题考查了等比和等差数列的通项公式、前n项和公式以及性质的应用，考查了分析问题和解决问题的能力．
