设函数 f(x)=lnx，g(x)=x- 1 x ．
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（1）函数φ（x）=x-
1
x +klnx的定义域为（0，+∞）．
φ′（x）=1+
1
x 2 +
k
x =
x 2 +kx+1
x 2 ，
记函数h（x）=x 2+kx+1，其判别式△=k 2-4．
①当△=k 2-4≤0，（k＜0），即-2≤k＜0时，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在区间（0，+∞）上递增．
②当△=k 2-4＞0，（k＜0）即k＜-2时，
方程h（x）=0有两个不等的实根x 1=
-k-
k 2 -4
2 ＞0，x 2=
-k+
k 2 -4
2 ＞0．
若x 1＜x＜x 2，则h（x）＜0，∴φ′（x）＜0，
∴φ（x）在区间（x 1，x 2）上递减；
若x＞x 2或0＜x＜x 1，则g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，
∴φ（x）在区间（0，x 1）和（x 2，+∞）上递增．
综上可知：当-2≤k＜0时，φ（x）的递增区间为（0，+∞）；
当k＜-2时，φ（x）的递增区间为（0，
-k-
k 2 -4
2 ）和（
-k+
k 2 -4
2 ，+∞），
递减区间为（
-k-
k 2 -4
2 ，
-k+
k 2 -4
2 ）．
（2）∵x≥e，∴xlnx≥ax+a⇔a≤
xlnx
x+1 ，
令t（x）=
xlnx
x-1 ，x∈[e，+∞），则h′（x）=
x+lnx+1
(x+1 ) 2 ，
∵当x≥e时，（x+lnx+1）′=1+
1
x ＞0，
∴函数y=x+lnx+1在[e，+∞）上是增函数，
∴x+lnx+1≥e+lne+1=e+2＞0，h′（x）＞0，
∴t（x）的最小值为h（e）=
e
e+1 ，
∴a≤
e
e+1 ．
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