解题思路：（1）先求出F（x），然后求出F‘（x），分别求出F′（x）＞0与F′（x）＜0 求出F（x）的单调区间；
（2）利用导数的几何意义表示出切线的斜率k，根据k≤[1/2]恒成立将a分离出来，a≥（-[1/2]x02+x0）max，即可求出a的范围，从而得到a的最小值；
（3）y=g（[2a/x+1]）+m-1的图象与函数y=f（x+1）的图象恰有二个不同的交点，即[1/2]x2+m-[1/2]=ln（x+1）有2个不同的根，分离参数求最值，即可求出实数m的取值范围．
（1）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+[a/x]（x＞0），F′（x）=[1/x−
a
x2]（x＞0）．
因为a＞0由F′（x）＞0，可得x∈（a，+∞），所以F（x）在（a，+∞）上单调递增；
由F′（x）＜0，可得x∈（0，a），
所以F（x）在（0，a）上单调递减．
（2）由题意可知k=F′（x0）=
x0−a
x02≤[1/2]对任意0＜x0≤3恒成立，
即有x0-[1/2]x02≤a对任意0＜x0≤3恒成立，即（x0-[1/2]x02）max≤a，
令t=x0-[1/2]x02=-[1/2]（x0-1）2+[1/2]≤[1/2]，
则a≥[1/2]，即实数a的最小值为 [1/2]．
（2）y=g（[2a/x+1]）+m-1的图象与函数y=f（x+1）的图象恰有二个不同的交点，即
[1/2]x2+m-[1/2]=ln（x+1）有2个不同的根，
∴m=-[1/2]x2+ln（x+1）+[1/2]有2个不同的根，
令h（x）=-[1/2]x2+ln（x+1）+[1/2]，则h′（x）=-x+[1/x+1]=0，
可得x=
−1+
5
2，此时函数取得最大值
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问题，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
